数学悖论

希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。所以，我们先从勾股定理说起。勾股定理是欧几里得几何中最著名的定理之一。天文学家开普勒曾称它为欧几里得几何中两颗明亮的珍珠之一。它广泛应用于数学和人类实践中，也是人类最早承认的平面几何定理之一。在我国，最早的天文数学著作《周丕哀经》对这一定理有了初步的认识。但是，勾股定理在中国的证明是后来的事情。直到三国时期，赵爽使用面积切割提供了第一个证明。

在国外，古希腊的毕达哥拉斯最先证明了这个定理。所以在国外一般称为“毕达哥拉斯定理”。也有人说毕达哥拉斯完成这个定理后欣喜若狂，杀了100头牛庆祝。因此，这个定理也获得了一个神秘的称号:“百牛定理”。

毕达哥拉斯

毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊著名的数学家和哲学家。他曾经创立了一个集政治、学术和宗教于一体的神秘主义学派:毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯提出的著名命题“一切都是数”是这个学派的哲学基石。“所有的数都可以表示为整数或整数的比值”是这个学派的数学信念。然而具有戏剧性的是，毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯数学信仰的“掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后，其学派成员希帕索斯考虑了一个问题:边长为1的正方形的对角线长度是多少？他发现这个长度不能用整数或分数来表示，只能用一个新的数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2的诞生。小√2的出现在当时的数学界掀起了一场巨大的风暴。直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，让毕达哥拉斯学派人心惶惶。事实上，这一伟大发现不仅是对毕达哥拉斯学派的致命打击。这对当时所有古希腊人的思想都是一个巨大的冲击。这个结论的悖论在于它与常识的冲突:任何量都可以表示为任意精度范围内的有理数。这不仅在当时的希腊是一个被广泛接受的信念，即使是在测量技术已经高度发达的今天，这个论断也无一例外的正确！但是，被我们的经验所信服，完全符合常识的结论，却被一个小小的√2的存在推翻了！这应该是多么违背常识，多么可笑！它只是颠覆了以前的认识。更糟糕的是，面对这种荒谬，人们无能为力。这直接导致了当时人们的认识危机，从而引发了西方数学史上的一场大风暴，被称为“第一次数学危机”。

欧多克索斯

两百年后，大约公元前370年，才华横溢的欧多克索斯建立了一套完整的比例理论。他自己的著作已经失传，他的成果保存在欧几里得的《几何原本》第五章。欧多克索斯的巧妙方法可以避免无理数的“逻辑丑闻”，保留一些相关结论，从而解决了无理数的出现带来的数学危机。而eudoxus的解法是借助几何方法直接避开无理数实现的。这是对数字和数量的僵硬肢解。在这种解决方案下，无理数的使用仅在几何中是允许且合法的，但在代数中是非法且不合逻辑的。或者说无理数只是被当作附加在几何量上的简单符号，而不是实数。直到18世纪，数学家证明了圆周率等基本常数是无理数，越来越多的人支持无理数的存在。19世纪下半叶，在建立了现在意义上的实数理论后，彻底弄清了无理数的本质，无理数才真正在数学花园里生根发芽。无理数在数学中合法地位的确立，一方面将人类对对数的认识从有理数扩展到实数，另一方面真正彻底圆满地解决了第一次数学危机。

贝克勒悖论与第二次数学危机

第二个数学危机源于微积分工具的使用。随着人们对科学理论和实践认识的提高，微积分这一尖锐的数学工具在十七世纪几乎同时被牛顿和莱布尼茨独立发现。这个工具一出来，就显示出了它非凡的威力。使用这个工具后，许多难题变得容易了。但是牛顿和莱布尼茨的微积分理论都不严格。他们的理论都是建立在无穷小分析的基础上，但他们对无穷小这一基本概念的理解和应用是混乱的。因此，微积分从诞生之日起就受到一些人的反对和攻击。其中，攻击最猛烈的是英国大主教贝克勒。

贝克勒主教

1734年，贝克勒出版了一本书，书名很长《分析师；或者给一个无神论数学家的论文，考察现代分析科学的对象、原理和结论是否比宗教的奥秘和信仰的要点表达得更清楚或更明显。在这本书中，贝克勒抨击了牛顿的理论。比如他指责牛顿，为了计算比如x2的导数，把X取为不为0的增量δX，然后得到(X+δX)2-x2，再除以δX得到2x+δX，最后突然把δX取为0，得到的导数为2x。这就是“依靠双重错误得到不科学但正确的结果。“因为在牛顿的理论中，无穷小一会儿说为零，一会儿说不为零。所以，贝克勒嘲讽无穷小是“死量的幽灵”。贝克勒的攻击虽然来自于维护神学的目的，但确实抓住了牛顿理论中的缺陷，切中要害。

在数学史上，贝克勒问题被称为“贝克勒悖论”。一般来说，贝克勒悖论可以表述为“无穷小是否为零”:对于当时无穷小的实际应用来说，必须是既为零又不为零。但就形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。这个问题的提出引起了当时数学领域的一些混乱，导致了第二次数学危机。

牛顿和莱布尼茨

牛顿和莱布尼茨都试图通过完善自己的理论来解决贝克勒的攻击，但都没有完全成功。这让数学家们陷入了尴尬的境地。一方面，微积分在应用上取得了巨大的成功；另一方面，它有自己的逻辑矛盾，即贝克勒悖论。在这种情况下，微积分的选择是什么？

“勇往直前，勇往直前，你会获得信仰！”达朗贝尔吹响了奋勇前进的号角。在这一号角的鼓舞下，18世纪的数学家们开始更多地依靠直觉来创造一个新的数学领域，而不顾基础和论证的不严密。于是出现了一系列新方法、新结论和新分支。经过一个多世纪的长途跋涉，在达朗贝尔、拉格朗日、伯努利家族、拉普拉斯、欧拉等几位代数家的努力下，开垦了数量惊人的处女地，微积分理论得到了空前的丰富。18世纪有时甚至被称为“分析的世纪”。但与此同时，十八世纪的粗糙和不严谨的工作也导致了越来越多的谬误，不和谐的杂音开始撼动数学家的神经。我们就以一个无穷级数为例吧。

无穷级数S = 1-1+1-1+1...到底是什么？

当时人们认为一方面S =(1-1)+(1-1)+...= 0;反之，s = 1+(1-1)+(1-1)+......= 1，那么不是0 = 1吗？这个矛盾困惑了傅立叶这样的数学家，甚至后来被称为数学家英雄的欧拉也在这里犯下了不可饶恕的错误。他得到了

1 + x + x2 + x3 +.....= 1/(1- x)

之后设x =-1，得到

s = 1-1+1-1+1………= 1/2！

从这个例子中，不难看出当时数学的混乱局面。问题的严重性在于，当时分析中的任何细节问题，如级数、积分的收敛、微分积分的排列、高阶微分的使用、微分方程解的存在性等，几乎都被忽略了。特别是19世纪初，傅立叶理论直接暴露了数理逻辑的基本问题。这样，消除不和谐，重新建立在逻辑基础上的分析，就成了数学家们的当务之急。到了19世纪，批判、系统化和严谨论证的必要时期到来了。

柯西

使分析基础严谨化的第一步是由法国著名数学家柯西迈出的。柯西在1821年开始发表几部划时代的著作和论文。给出了一系列分析基本概念的严格定义。比如他开始用不等式描述极限，把无穷运算变成了一系列不等式。这就是极限概念的所谓“算术化”。后来，德国数学家维尔斯特拉斯给出了一个更完善的“ε-δ”方法，我们目前正在使用。此外，在柯西的努力下，连续性、导数、微分、积分和无穷级数和的概念也建立在坚实的基础上。但当时由于严格的实数理论没有建立起来，柯西的极限理论还无法完善。

在柯西、维尔斯特拉斯、戴德金和康托尔之后，经过各自独立而深入的研究，都把分析基础归结为实数理论，并在20世纪70年代建立了自己完整的实数系。维尔斯特拉斯的理论可以归结为增有界数列的极限存在原理；戴德金建立了著名的德德京师；康托尔提出用有理数的“基本数列”来定义无理数。1892年，另一位数学家首创“区间集原理”建立实数理论。从而沿着柯西开辟的道路，建立了严格的极限理论和实数理论，完成了分析的逻辑基础工作。把数学分析中的不矛盾问题归结为实数理论中的不矛盾，使微积分这座人类数学史上前所未有的宏伟建筑建立在坚实可靠的基础上。重建微积分的基础是一项重要而艰巨的任务，经过许多优秀学者的努力已经圆满完成。微积分坚实基础的建立，结束了数学中暂时的混乱，同时宣告了第二次数学危机的彻底解决。

罗素悖论与第三次数学危机

19世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，该理论刚产生时就遭到了许多人的严厉抨击。但很快这一开创性的成果就被广大数学家所接受，并赢得了广泛而高度的赞誉。数学家发现，从自然数和康托尔的集合论出发，整个数学大厦就可以建立起来。因此，集合论成了现代数学的基石。“一切数学成就都可以基于集合论”的发现让数学家们陶醉。1900年，在国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱兴高采烈地宣称:“……借助集合论的概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说已经达到了绝对的严格……”

唱诗人领唱者

然而好景不长。1903，一个震惊数学界的消息出来了:集合论有缺陷！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。

罗素构建了一个集合S: S是由所有不属于自己的元素组成的。然后罗素问:S属于S吗？根据排中律，一个元素要么属于一个集合，要么不属于一个集合。所以，对于一个给定的集合，问它是否属于自己是有意义的。但这个看似合理的问题，答案会陷入两难。如果s属于s，根据s的定义，s不属于s；另一方面，如果S不属于S，那么根据定义，S也属于S。无论如何都是矛盾的。

罗素

事实上，这个悖论在罗素之前的集合论中就已经发现了。比如在1897中，Burali和Folthy提出了最大序数悖论。1899年，康托尔本人发现了最大基数悖论。但由于这两个悖论在集合中涉及到很多复杂的理论，所以只在数学领域产生了很小的涟漪，未能引起很大的关注。罗素悖论则不同。非常简单易懂，只涉及集合论中最基本的东西。所以罗素悖论一提出就在当时的数学界和逻辑界引起了极大的震动。例如，g .弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后悲伤地说:“一个科学家遇到的最不愉快的事情，就是他的基础在工作结束时崩塌。拉塞尔先生的一封信就让我陷入了这种境地。”戴德金因此推迟了他的文章《数字的本质和功能是什么》的第二版。可以说，这个悖论就像是在数学平静的水面上扔了一块巨石，它引起的巨大反响导致了第三次数学危机。

危机过后，数学家们提出了自己的解决方案。希望通过限制集合的定义来改造康托的集合论，消除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以确保消除所有的矛盾；另一方面，它必须足够宽泛，以便康托尔集合论中所有有价值的内容都可以保留下来。”1908年，策梅罗根据自己的原理提出了第一个公理化集合论体系，后来被其他数学家改进，称为ZF体系。这个公理化的集合论体系在很大程度上弥补了康托朴素集合论的缺陷。除了ZF系统，集合论还有许多公理系统，如Neumann等人提出的NBG系统。公理化集合系统的建立成功地排除了集合论中的悖论，从而成功地解决了第三次数学危机。但另一方面，罗素悖论对数学的影响更为深远。它使数学的基本问题第一次以最迫切的需求摆在数学家面前，引导数学家去研究数学的基本问题。这方面的进一步发展深刻地影响了整个数学。比如围绕数学基础的争论，在现代数学史上形成了三个著名的数学学派，每个学派的工作都推动了数学的大发展。

以上简单介绍了数学史上三次数学悖论引发的数学危机和经历，从中我们不难看出数学悖论对数学发展的巨大推动作用。有人说，“提出问题是解决问题的一半”，而数学悖论正是数学家无法回避的。它对数学家说:“解决我，否则我会吞下你的系统！”"正如希尔伯特在《论无限》一文中指出的那样:"必须承认，面对这些悖论，我们目前所处的局面是不能长期容忍的。人们想象在数学这个被称为可靠性和真值的模型中，每个人都学过、教过、应用过的概念结构和推理方法会导致不合理的结果。如果连数学思维都失败了，我们该去哪里寻找可靠性和真实性？“悖论的出现迫使数学家投入最大的热情去解决它。在解决悖论的过程中，各种理论应运而生:第一次数学危机导致公理几何和逻辑的诞生；第二次数学危机促进了分析基础理论的完善和集合论的建立；第三次数学危机促进了数理逻辑的发展和一批现代数学的出现。数学由此蓬勃发展，这可能就是数学悖论的重要意义。

悖论列表

1.理发师悖论(罗素悖论):一个村子里只有一个人理发，村子里所有人都需要理发。理发师规定，只给不自己理发的人理发。问:理发师给自己理发吗？

如果理发师自己剪头发，就违反了他的约定；如果理发师不剪自己的头发，那么按照他的规定，他应该重新剪自己的头发。这样，理发师就进退两难了。

2.芝诺悖论——阿喀琉斯和乌龟:公元前5世纪，芝诺利用他关于无穷、连续和部分和的知识，引发了下面这个著名的悖论:他提出阿喀琉斯和乌龟应该进行一场赛跑，乌龟应该比阿喀琉斯领先65，438+0，000米起跑。假设阿喀琉斯能跑得比乌龟快10倍。比赛开始，阿基里斯跑1000米的时候，乌龟还在他前面。当阿喀琉斯跑完下一个100米时，乌龟仍然领先他10米...所以，阿喀琉斯永远也追不上乌龟。

3.说谎者悖论:公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家埃庇米尼得斯断言，“所有克里特人所说的一切都是谎言。”

如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊梅嫩德斯说了真话，但这与他的真话相反——所有克里特人所说的一切都是谎言；如果这句话不是真的，也就是说，克里特人厄庇米嫩德斯说了谎，那么真相应该是:所有克里特人说的一切都是真的，两者相反。

所以很难自圆其说，这就是著名的骗子悖论。

公元前4世纪，希腊哲学家提出了另一个悖论:“我现在说的是假的。”同上，这又很难自圆其说了！

说谎者悖论仍然困扰着数学家和逻辑学家。说谎者悖论有多种形式。我预测:“你接下来要说的是‘不’，对吧？用‘是’或‘不是’来回答。”

再比如“我下一句错(对)，我上一句对(错)”。

4.与无限相关的悖论:

{1,2,3,4,5, ...}是自然数集:

{1, 4, 9, 16, 25, ...}是自然数平方的一组数。

这两组数字很容易形成一一对应的关系。那么，每个集合中的元素一样多吗？

5.伽利略悖论:我们都知道整体大于部分。从线段BC上的点到顶点A，每条线都会和线段DE相交(点D在AB上，点E在AC上)，所以可以得出DE和BC一样长，和图矛盾。为什么？

6.意外考试的悖论:一个老师宣布未来五天(周一到周五)有一天考试，但他告诉全班同学:“你不可能知道今天是什么日子，下午一点钟到早上八点钟才会通知你考试。”

能告诉我为什么考不上吗？

7.电梯悖论:在一栋摩天大楼里，有一部由电脑控制的电梯，它在同一时间停在每一层楼。然而，办公室在顶楼附近的王先生说，“每当我想下楼时，我都要等很长时间。停的电梯总是上楼，很少下楼。好奇怪！”李小姐对电梯也很不满意。她在靠近底楼的办公室上班，每天都去顶楼的餐厅吃午饭。她说:“每当我想上楼的时候，停着的电梯总是往楼下开，很少有上楼的。真的很烦！”

这到底是怎么回事？电梯明明在每个楼层停留的时间都一样，为什么却让靠近顶层和底层的人不耐烦？

8.硬币悖论:两枚硬币平放在一起，上面的硬币绕下面的硬币旋转半圈。结果，图案在硬币中的位置和开始时一样；不过按常理来说，绕着圈转半圈的硬币图案应该是向下的！你能解释一下为什么吗？

9.粮堆悖论:显然，1粒小米不是堆；

如果1小米不是一堆，那么2小米也不是一堆；

如果两个小米粒不是堆，那么三个小米粒也不是堆；

……

如果99999小米不算堆，那么100000小米不算堆；

……

10.宝塔悖论:如果从砖塔中取出一块砖，它不会倒塌；画两块砖，不会塌；.....当拔出第n块砖时，塔倒塌了。现在开始在另一个地方画砖。和第一次不一样的是，当我抽到第m块砖的时候，塔塌了。在另一个地方，当塔倒塌时，l块砖不见了。以此类推，塔倒塌时损失的砖块数量因地而异。那么会有多少砖塔倒塌呢？

我累死了！！