接近冀中初一初二的考试和奥数题差不多。
解析:本题中，变化量如下:①操作次数，即拿球次数；②取出的球数；③每个球取出后盒内剩余的球数；④每次放回的球数⑤每次放入盒子的球数；⑥每次操作后盒中的球数。每个量随着运算次数的变化而变化。由于这个原因，每个操作的情况都列在一个表格中，而数据的规则都可以在表格中的数据上找到:
运行时间123...10
取出的球数是1 2 3 … 10。
盒子里剩下的球数是0 ^ 27...a.
放回的球数4 8 12...b
将盒子里的球数增加3 69...c
球总数4 10 19 … D
上表中，如果能找到A、B、C、D的数据，那么问题就解决了。从表中很容易得到b是4N，c是3N的结果。所以所需D的结果是显而易见的:每次变化后的球数为:1，1+3=4，10=1+3+6，1+3+6 = 65438+。即d为166。
注意:解决这类问题时，要用表格列出每个过程的结果，然后观察数据的变化，从变化的数据中找到规律，得出结论。
例2:某聚会有65，438+00个好友。如果每个人只和其他人握手一次，那么65，438+00人会握手多少次？如果n个朋友呢？
解析:同学们一定要明白:1)每两个人握手；2)A和B握手的结果和B和A握手的结果只能算是一个结果。3)设10人为A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，A9，A10。然后A1和其他9个人握手9次；A2与其余8人握手8次；A3与其余7人握手7次；.....……A9和A10握手1次。所以握手次数是9+8+7+6+5+4+3+2+1=45(次)。
注意:解决这类问题时，所有的结果都要按照一定的规则一个一个的给出，以便对所有的结果进行整理。
第二类:数字问题
例3:依次看下一列的数字。它的排列规律是什么？请写下接下来的三个数字。你能说出数字100th、数字2004th和数字10000th吗？
① 2,-2,2,-2,2,-2,……
② -1,3,-5,7,-9,11,……
③ - ,,- ,,- ……
分析:
很容易发现，这个数是由绝对值等于2的正数和负数组成的，即奇数为2，偶数为-2。所以接下来的三个数字是2，-2，2。第1000号是-2，第2004号是-2，第10000号是-2。
②除了变号，很容易发现这个数是奇数；符号是负的和正的交替；(奇数为负，偶数为正。因此，符号可以由(-1)N确定为每个数的系数。奇数常用(2N-1)表示，这个数列的第N个数可以用(-1)N(2N-1)表示。原数列中接下来的三个数字是:-13，15和-65435。100号是199，2004号是4007，10000号是19999。
③很容易发现，这个数列的符号特征与第二项相同，可以用(-1) n表示..而每一个分数都可以看作是一个偶数的倒数，也就是因此，这个数列的第N个数可以表示为(-1)N，所以后面三个数是，-，。第100号是，第2004号是，第10000号是。
注意:学生要找到这个例子中的数值规律并不是很难。他们只需要知道奇数序列、偶数序列等一系列特殊序列的表示方法。当然，符号的表现也需要掌握。
例4:研究以下公式，你会发现什么规律？
1×3+1=4=22
2×4+1=9=32
3×5+1=16=42
4×6+1=25=52
请用公式表达发现的定律:▁ ▁ ▁ ▁ ▁.
这个公式适用于所有整数吗？
解析:在第一个公式中寻找“1”；在第二个公式中寻找“2”；……;在第n个公式中寻找“n”。同时寻找与“1”、“2”相关的数字，...，“n”在相应的公式中。如果位置" 1 "，" 2 "、...和“n”被发现是固定的，则第n个公式中的“n”位于“1”、“2”，...而对应的“N+1”这个问题中的各类第一个数据可以看做N的位置，如果第二个数据比第一个数据大2，那么第二个数据可以认为是N+2，第三个数据是1的常数，第四个数据是(N+1)2的结果，最后的结论是明确的(N+1)2。因此，发现的规律表达为:
N(N+2)+1 = N2+2N+1 =(N+1)2 .
示例5:观察以下类型:
13+23=9=(1+2)2
13+23+33=36=(1+2+3)2
13+23+33+43=(1+2+3+4)2
……
13+23+33+43+……+993+1003=?
解析:从给出的三个条件中不难发现各种特征:从1开始的几个连续自然数的立方和等于这些数之和的平方。学生不难发现第n个公式如下:
13+23+33+……+N3 =(1+2+3+……+N)2 .
因此，13+23+33+43+…+993+1003 =(1+2+3+4+…+99+100)2 = 50502。
(通过不完全归纳法，不难证明N型的结论。限于篇幅，这里就不证明了。)
第三类:几何图形类型
例6:用火柴棍按图中所示的方式画一幅画:
(1)填写下表:
图形编号① ② ③ ④ ⑤
火柴杆的数量
(2)第n个数字需要多少个匹配？
解析:解决此类问题时，方法清晰；就是把图形问题变成数字问题，然后从数字的特性中找出规律来解答。
显然，第一个图形中有三根火柴棍；第二个图形中有9根火柴杆；第三个数字有18根火柴杆；第四个图形中有30根火柴杆；……
and 3 = 1×3；9=3×3=(1+2)×3;18=6×3=(1+2+3)×3;30=10×3=(1+2+3+4)×3……
所以第n个图的火柴棍数是:(1+2+3+...+n) × 3。所以填写表格中的每一个数据并不难。
有一些类似这个的问题，供大家参考:
1.当一条线段标有点时，此时* * *中有三条线段。如果再次标记一个点，此时* * *中有六条线段...以此类推，第n个图形中* * *有多少条线段？
2.从三角形的顶点到它的对边画一条线段。此时，图中有三个三角形(如图2)；如果向其对边画一条线段，则图中有六个三角形(如图3所示)；.....以此类推，那么n * *中有多少个三角形？
注:(1)在计算图的个数时，如果能把握:先单个，再两个复合，再三个复合...以此类推，可以统计出所有相应的结论，不容易重复和遗漏。
(2)只有知道一些特殊数列的规律和一般表达式，才能更容易解决这类问题。下表:
自然序列123...n
偶数序列2 4 6...2n
奇数序列135...2n-1
自然数的平方1.49...N2
前n个自然数之和是1。
(1) 1+2
(3) 1+2+3
(6) …… 1+2+3+……+N
()
前n个奇数的和是1
(1) 1+3
(4) 1+3+5
(9) …… 1+3+5+……+(2N-1)
(N2)
前n个偶数的总和是2
(2) 2+4
(6) 2+4+6
(12) …… 2+4+6+……+2N
N(N+1)
为了进一步巩固这些知识，下面的练习供你参考:
1)观察以下几种，你会发现哪些规律？
3×5=15=42-1
5×7=35=62-1
……
11×13=143=122-1
用一个只包含一个字母的公式表达你猜到的规律。
2)观察以下类型:
A1=5×1-3=2
A2=5×2-3=7
A3=5×3-3=12
A4=5×4-3=17
……
(1)根据上述规律，猜测计算AN=
(2)当N=100时，A100=
你喜欢拉面吗？拉面馆的师傅用一根粗面把两头捏在一起拉伸，然后揉，再拉伸，反复几次，再把这根粗面拉成很多细面，如图。像这样揉搓拉伸几次，能拉出128的细面条？
4)如图，正方形的边都是1，按照图中的规则叠放。如果他们被称为一楼，二楼，三楼，...以及从上到下的第n层，请填表:
小立方体排列层数N12345...n
最低层的小立方体数量是1.36 …
数学问题可以分为两类，一类是应用数学规律的问题，一类是发现数学规律的问题。应用数学规律问题是指学生需要应用以前学过的数学规律来解决的问题。发现数学规律问题是指与学生以前学过的数学规律无关的问题，要求学生从已知的事物中找出规律，然后才能解决。学生做的数学题大多属于第一类。
数学规律问题的发现可以增强学生的创新意识，提高学生的创新能力。因此，近年来，人们开始更多地关注这类数学问题。尤其是最近两年，全国大部分城市的中考都有这样的题。发现数学规律问题解决的思想不仅可以提高学生的考试成绩，而且有助于创新人才的培养。
第一，要善于抓住主要矛盾
有些题目看起来很大很复杂，其实重点内容并不多。对题目进行细致的分析，去粗取精，去伪存真，提炼出主要的、关键的内容，这样题目的难度就会大大降低，问题也就迎刃而解了。
另外，2006年邵阳市初中毕业会考试卷数学试题(课改区)“图中的螺线由一系列等腰直角三角形组成，序号为①、②、③、④、⑤...，而第n个等腰直角三角形的斜边长是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。”也可以按照这个思路来解决。
第二，要把握题目中的变量。
找数学规律的题目会涉及到一个或几个变量。所谓找规律，大多数情况下是指变量的变化规律。所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。
举个例子，如下图所示，如果地面铺的是同样规格黑白两色的方砖，第三个图会有黑砖，第一个图需要黑砖(用包含代数表示)。(2006年海南省初中入学考试数学科目试题(课改区))
这个问题的关键是第一个图需要多少个黑瓷砖？
在这三个图中，前面的四个黑瓦片不变，后面的黑瓦片变了。它们的编号分别是:第一张图中的0×3黑瓦片，第二张图中的1×3黑瓦片，第三张图中的2×3黑瓦片，依此类推，第n张图中的(n-1)×3黑瓦片。所以第n个图有4+(n-1)×3个黑瓦片。
2006年云南省课改实验区高中(中专)统一招生考试也有类似的题目:“观察图形(L)到(4)中小圆的排列规律，继续按此规律排列。记住第n个图形中小圆的个数是m，那么m=(用一个包含n的代数表达式表示)。”
第三，善于比较。
“只有比较才能分辨”。通过对比，可以发现事物的异同，更容易发现事物的变化规律。
要找到一个规律性的题目，通常是按照一定的顺序给出一系列的量，这就需要我们根据这些已知的量去寻找一个普遍的规律。揭示的规律往往包含着事物的序号。所以用序号对比变量更容易发现其中的玄机。
例如，观察以下数字:0，3，8，15，24，...按照这个规律试着写出数字100th。"
要解决这个问题，可以先找到一般规律，然后用这个规律计算出第100个数。我们一起比较相关的数量:
给出的数字:0，3，8，15，24，...
序列号:1，2，3，4，5，.
很容易发现，已知数的每一项都等于其序号的平方减去1。所以第n项是n2-1，第100项是1002-1。
如果题目很复杂或者包含很多变量。解题时，不仅要考虑已知数的序号，还要考虑其他因素。
例如，日照市2005年中考数学试题“已知下列方程:
① 13=12;
② 13+23=32;
③ 13+23+33=62;
④ 13+23+33+43=102 ;
…… ……
根据这个定律，第五个等式是。"
这个题目，在给定的方程中，左边的加数是变化的，加数的基数是变化的，右边的和也是变化的。所以要比较的因素很多。就左边来说，从上到下对比，发现加数依次增加1。因此，第五个方程应该有五个加数；从左到右比较加数的基数，发现都是自然数排列。因此，第五个等式的左边是13+23+33+43+53。再看等式的右边，指数没有变，但是基数变了。在等式的左边，指数没有改变，但是基数变了。比较等式两边的底数，发现sum的底数等于加数的底数。所以第五个等式右边的基数是(1+2+3+4+5)，和是152。
第四，善于寻找事物的循环。
有些题目包含了事物的循环规律。如果找到了事物的循环规律，其他问题也就迎刃而解了。
比如玉林市2005年中考数学题:“观察下列球的排列(其中●是实心球○是空心球):
●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……
从第1球到第2004球，* * *有实心球。"
这些球，从左到右，按固定顺序排列，每10个球循环一次，循环间距为● ○ ● ● ○。每个循环部分有三个实心球。只要知道2004年包含了多少个周期，就很容易计算出实心球的个数。因为2004÷10=200(余数4)。所以2004球有200个圆结，还剩下4个球。200个循环段中有200×3=600个实心球，其余4个球中有2个实心球。所以，一个* * *有602个实心球。
第五，要抓住题目中隐藏的不变量。
有些题目形式变了，但本质没变。只要我们在观察形态变化的过程中，时刻注意寻找它的不变量，就能揭示事物的本质规律。
比如2006年芜湖市(课改实验区)初中毕业。考题“请仔细观察图中等边三角形的变换规律，写下你发现的关于等边三角形中一点到三条边的距离的数学事实。”
在这三个图形中，白色三角形是一个等边三角形，其中嵌入了三个黑色三角形。从左向右看，上面的两个黑三角顺时针旋转，但是它们的形状没有变化，当然黑三角的高度也没有变化。在左起第一个图中，黑色三角形的高度之和是等边三角形中一个点到三条边的距离之和，在最后一个图中，三个黑色三角形的高度之和是等边三角形的高度。因此，等边三角形中任意点到三条边的距离之和等于它的高度。
六、尝试计算
找规律，当然是找数学规律。数学定律大多是函数的解析表达式。函数的解析表达式往往包含数学运算。所以，找到规律，很大程度上就是找到一个能反映已知量的数学表达式。所以从计算入手，尝试做一些计算，也是解决找规律问题的好方法。
比如汉川市2006年中考试卷《数学》观察到以下几种:0，x，x2，2x3，3x4，5x5，8x6，...按照这个规律试着写出第10个公式。"
这个问题包含两个变量，一个是各个项目的指数，一个是各个项目的系数。不难看出，每一项的指数等于其序号减1，但系数的变化规律就没那么好找了。但是，如果我们把系数拿出来，试着做一些简单的计算，就不难发现系数的变化规律。
系数的排列:0，1，1，2，3，5，8，...
从左到右观察系数的排列，依次求相邻两项之和。你会发现这个和恰恰是后一项。也就是说，原数列中相邻两项的系数之和等于后一项的系数。利用这个规律，不难推导出原序列第八项的系数是5+8=13，第九项的系数是8+13=21，第10项的系数是13+21=34。
所以原数10是34x9。
条条大路通罗马。解决找法的问题有很多方法。这里只是简单总结一下“常见”的解题思路。有兴趣的老师可以从解方程、拉格朗日插值定理、求分辨函数的角度，进一步研究解决这类问题的新途径。
(1)1, (2) 1+5 = 6, (3) 1+5+9 = 16.数字n是多少？请写下过程。
第一个数字是1。
第二个数是1+5 = 6。
第三个数是1+5+9 = 15。
第四个数是1+5+9+13 = 28。
从上面的规律可以发现，每增加一层，增加的数就比前一层多4。
第n个数最后相加的数的解是4 × (n-1)+1 ∴从1到最后一个数连续相加的数之和是(1+最后一个数)÷2n。
然后将前两个公式合并得到第n个数【2+4？(n-1)]⊙2n表示n(2n-1)。
有一个列号:1，1/2，2/1，1/3，2/2，3/1，1/4，2/3，3/2，4/3。
(1)数字1/5后面的第一个数字是什么？
(2)如果从左边的第一个数往右数，这一列的1/9是什么数？
解:顺序是:1，1/2，2/1，1/3，2/2，3/1，1/4，2/3，3/2，4。所以数字后面的第一个数字是=。从左边第一个数字到右边，1到1是1，1是2，3，4。To是8个数，所以1+2+3+4+5+6+7+8=36。所以这一栏有37个数字。
3，10，29，66下一个数字是什么？
解:3 = 13+2 10 = 23+2 29 = 33+2 66 = 43+2下一个数是:53+2=127。
(1)-1, 2,-4, 8,-16, 32, ...，10的个数是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
每个数字可以写成
频率是0，1，2，3...
当次数为偶数时，前面有一个负号。
所以数字10表示为。
(2)1，-3，5，-7，…，15是_ _ _ _ _ _ _ _ _。
每个数字的绝对值表示为、、、(n为数字)。
如果数字是偶数，前面会有一个负号，
所以15这个数的绝对值是。